Das Graduiertenkolleg 2553 “Symmetrien und klassifizierende Räume: analytisch, arithmetisch und deriviert” wurde im November 2019 von der Deutschen Forschungsgemeinschaft genehmigt und hat im April 2020 seine Arbeit aufgenommen.

Zusammenfassung (aus dem Antragstext)

Symmetrien und die Klassifikation geometrischer Objekte sind Kernthemen der Mathematik und aller Ausrichtungen der algebraischen Geometrie, insbesondere der klassischen algebraischen Geometrie, komplexen Geometrie, arithmetischen Geometrie, derivierten algebraischen Geometrie und anderer Gebiete im Grenzbereich zwischen algebraischer Geometrie, Analysis und Topologie. In den letzten Jahren hat es hier enorme Fortschritte gegeben, z. B. durch die Theorie der perfektoiden Räume, im Bereich des Langlands-Programms und der Birch/Swinnerton-Dyer-Vermutung und im Bereich des Minimalen-Modell-Programms. Durch die Entwicklung neuer Methoden entwickelt sich das Gebiet schnell weiter und neue Durchbrüche sind zu erwarten. Für junge Mathematiker*innen handelt es sich um ein vielversprechendes Forschungsgebiet für den Beginn einer eigenen Karriere. Angesichts der Schwierigkeit und Vielfalt der Methoden ist es für Doktorand*innen besonders nützlich, an einem Ort zu arbeiten, an dem Expertise für viele der verschiedenen Sichtweisen vorhanden ist. In Essen können wir Nachwuchswissenschaftler*innen eine solche stimulierende Umgebung anbieten, die Doktorand*innen in der Übergangsphase vom Studenten zum Forscher unterstützt und ihnen ermöglicht, in einem faszinierenden Gebiet der Mathematik Fuß zu fassen.

Im Mittelpunkt unserer Forschung stehen Gruppen und klassifizierende Räume in einem weit gefassten Sinn – eine fruchtbare Kombination zweier eng verwandter Gebiete. Dies beinhaltet komplexe und $p$-adische Lie-Gruppen, algebraische Gruppen und Galois-Gruppen sowie ihre Wirkungen auf Varietäten und darstellungstheoretische Fragen mit Verbindungen zu geometrischen Problemen genauso wie Modulräume, Deformationsräume und klassifizierende Räume im engeren Sinn. Die beiden Themen sind oft eng miteinander verbunden: viele Modulräume können als Quotienten konstruiert werden; teilweise tragen die parametrisierten Objekte eine Gruppenstruktur (abelsche Varietäten) oder stehen in engem Zusammenhang zu einer Gruppe ($G$-Bündel); die Kohomologie von Modulräumen liefert oft interessante Darstellungen.

Das Ziel unseres Qualifizierungskonzepts ist es, den Studierenden genügend Freiheit zu geben, eigene Ideen zu entwickeln und Schritt für Schritt unabhängiger zu werden, aber auch genügend Anleitung, damit sie ihre Zeit effizient nutzen können und um sicherzustellen, dass ihre Arbeit eine Perspektive über die Dissertation hinaus hat.

Kernthemen des Graduiertenkollegs

• Modulräume und Deformationsräume
• Lie-Gruppen, ihre Wirkungen und Quotientenräume
• Dualität
• Galois-Darstellungen und automorphe Darstellungen

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